Wetten, dass ...

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Wetten, dass ...

Von Eduard Kaeser, 08.09.2019

Über Versicherungsprämien, Abzocke und ein Paradoxon

Jeder hat einmal Pech. Dagegen kann man sich versichern. Sich gegen ein Risiko zu versichern, ist heute ein Milliardengeschäft. Es offeriert uns Kompensation für Missgeschicke, von verhagelten Ernten über Beinbrüche bis zu kaputten Waschmaschinen. Eine freundliche Geste, mit nicht nahezu so freundlichem Beweggrund freilich.

Quantifizierte Erwartung

Es geht, wie immer im Leben, um Erwartung und Nutzen einer Entscheidung. Die Grundfrage lautet: Was sind die wahrscheinlichen Konsequenzen? Erwartung und Nutzen lassen sich mathematisch behandeln. Blaise Pascal, dieses verquälte Genie des 17. Jahrhunderts, hat die mathematische Grundlage dafür geschaffen: die Wahrscheinlichkeitstheorie. Der zündende Gedanke dabei ist, die Ungewissheit eines Ereignisses abzuschätzen. Angenommen, man bietet mir eine Wette an, bei der es mit 20-prozentiger Chance 100 Franken zu gewinnen gibt. Ein anderes Genie des 17. Jahrhunderts, Christian Huygens, ersann dazu einen Begriff, den sogenannten Erwartungswert. Er berechnet sich ganz einfach als Produkt aus Chance und Gewinn, also 0.2 * 100 = 20 Franken.

Dieser Wert erscheint auf Anhieb unplausibel. Schliesslich gewinne ich doch 100 Franken oder gehe leer aus. Nichts dazwischen. Nun weiss ich das allerdings erst im Nachhinein. Die Stärke des Erwartungswert liegt darin, dass er uns erlaubt, die Wette im Voraus rechnerisch zu beurteilen. Und zwar muss sie, damit dieser Wert wirklich eine gute Entscheidungsbasis abgibt, oftmals durchgeführt werden. Bei einer hinreichend grossen Zahl von durchgeführten Wetten sagt mir der Erwartungswert, dass ich im Schnitt einen Gewinn von 20 Franken heimtrage (Gesamtgewinn dividiert durch Anzahl Wetten). Damit muss ich natürlich den möglichen durchschnittlichen Verlust vergleichen. Pascals Regel lautet: Erwartungswert von Verlust und Gewinn müssen sich mindestens die Waage halten. Die Wahrscheinlichkeit des Verlustes beträgt 80 Prozent. Das heisst, ich darf auf die Dauer nicht mehr als durchschnittlich 25 Franken verlieren; nur so ist die Verlusterwartung – das Produkt aus Chance und Verlust = 0.8 * 25 – gleich gross wie die Gewinnerwartung 0.2 * 100. Ist die Gewinnerwartung grösser als die Verlusterwartung, dann lohnt sich die Wette für mich.

Ein Dilemma beim Waschmaschinenkauf

Die Regel zeigt ihre verborgene Potenz darin, dass sie nicht bloss für primitive Wettspiele gilt. Versicherungen benutzen sie heute gerne, indem sie eine Produktgarantie anbieten, sozusagen eine Wette: Erleidet das Produkt in den nächsten Jahren einen Schaden oder nicht? Angenommen, Sie kaufen eine Waschmaschine für 500 Franken. Dazu offeriert man Ihnen eine Schadensversicherung mit der Zweijahresprämie von 50 Franken. Ist das ein guter Deal? Auch hier kann eine kleine Überlegung mit dem Erwartungswert helfen. Man könnte sagen, der Erwartungswert eines Schadens berechne sich als das Produkt aus Kaufpreis und Schadenswahrscheinlichkeit. Aber wie gross ist diese? Geht es mit fairen Dingen zu, schiene die Annahme gerechtfertigt, dass sich die Schadenswahrscheinlichkeit im Verhältnis von Prämie und Preis spiegelt, also 50/500 oder 10 Prozent. Und nun stecken Sie prompt in einem Dilemma. 10 Prozent aller Waschmaschinen dieses Typs erleiden innerhalb von zwei Jahren einen Schaden – sind das nicht eher Lotterkisten? Soll man sie überhaupt kaufen? Wenn man Ihnen versichert, die Maschine sei robust konstruiert mit – sagen wir – einer Schadenswahrscheinlichkeit von 2 Prozent, dann hängen Sie am anderen Horn des Dilemmas; dann betrüge nämlich die Prämie, das heisst der Erwartungswert des Schadens ja bloss 0.02 * 500 = 10 Franken. Sie überzahlen um das Fünffache. Das ist Abzocke. Sie haben also die Wahl zwischen einem zweifelhaften Fabrikat und Abzocke.

Basis des Versicherungsgeschäfts

Ich möchte weder die Waschmaschinen- noch die Versicherungsbranche diskreditieren. Versicherer wollen sich vor allem über zwei Dinge sicher sein. Erstens muss via Prämien genügend Geld hereinfliessen, um die eventuellen Reparaturkosten zu decken. Das bedeutet eine sorgfältige Kalkulation der Risikowahrscheinlichkeiten, bei einer korrespondierenden „leichten“ Überhöhung des Prämienbetrags. Zweitens müssen möglichst viele Versicherungen abgeschlossen werden, denn Wahscheinlichkeitsbetrachtungen führen nur bei hinreichend grosser „Missgeschickszahl“ zum errechneten Wert. Das ist die Basis des Versicherungsgeschäfts: Nicht ganz faire Prämien und erwartbare Pechhäufung.

Natürlich werden mir jetzt Versicherungsfachleute sofort sagen, solche Betrachtungen seien simplifizierend. Und ich gebe das gern zu. Ganz offensichtlich übersehe ich, dass es oft um mehr als bloss um Reparaturdeckung geht; auch der Seelenfrieden ist nicht zu vernachlässigen; überhaupt richtet der Markt alles zum Besten; und ohne Zweifel kennen sich Experten in der Regel besser aus im Umgang mit dem Zufall als wir Laien.

Genau hier jedoch liegt der Hase im Pfeffer. Auch wenn der Spruch „Wer nicht wagt, gewinnt nicht“ für viele seinen Reiz hat, lässt sich nicht leugnen, dass die meisten von uns sich fast regelmässig mit Wahrscheinlichkeiten verhauen. Das schlachten die professionellen Zufallsbewirtschafter aus. Nicht dass darin etwas Verwerfliches läge. Glück-und-Pechspiele sind nun einmal auch Gesetzen, jenen des Zufalls, unterworfen, so wie Materie den Gesetzen der Physik. Und die Versicherer nutzen die Gesetze der Wahrscheinlichkeit einfach zu ihren Gunsten.

Das Bernoulli-Paradoxon

Dennoch gibt es Haken. Der Erwartungswert kann auch Experten in die Irre führen. Das zeigt ein berühmtes Paradox, das 1713 von Nikolaus Bernoulli aus der berühmten Basler Gelehrtenfamilie formuliert wurde.  Er ging aus von einem einfachen Glücksspiel mit einer Münze. Wir können sie beliebig oft werfen. Wir gewinnen einen bestimmten Betrag, wenn sie zum ersten Mal Kopf zeigt. Bei jedem Wurf verdoppelt sich der Gewinn. Zeigt die Münze gleich beim ersten Mal Kopf, gewinne ich – sagen wir – 10 Franken. Zeigt die Münze zuerst Zahl und dann Kopf, gewinne ich 20 Franken. Zeigt sie zuerst zweimal Zahl und dann Kopf, gewinne ich 40 Franken, und so weiter. Der Gewinnbetrag erhöht sich schnell, die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine Serie Zahl und dann Kopf zu werfen sinkt allerdings rasch. Multipliziert man nun die einzelnen Gewinnbeträge mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten und summiert die Produkte, erhält man den Erwartungswert für den Gewinn. Und siehe da: Er ist unendlich! Das Spiel hat Suchtcharakter. Wie lange man auch auf den Gewinn warten muss, er übersteigt mit Sicherheit alle Vorstellungen. Also ist es „vernünftig“, im Spiel zu bleiben – vielleicht ein Leben lang ...

Und ewig locken „unendliche“ Gewinne

Die Absurdität dieser „Vernunft“ entging natürlich den Mathematikern nicht, und Daniel Bernoulli, ein Cousin von Nikolaus, fand eine Lösung des Paradoxons. Sie besteht darin, sich nicht so sehr auf den Erwartungswert des Gewinns zu konzentrieren, als vielmehr auf den Erwartungswert seines Nutzens. Einer Person mit 10 Franken Vermögen „nützt“ der Gewinn von 1000 Franken mehr als einer Person mit dem Vermögen von einer Million. Mit solchen „Nutzen-Formeln“, welche beschreiben, wie der Nutzen von der Bedürfnislage abhängt, lassen sich realistischere Gewinnchancen berechnen. Insbesondere zeigt sich, dass der Nutzen eines Gewinns nicht über alle Grenzen wächst. Das führte im 19. Jahrhundert zur Schaffung einer neuen Disziplin, der mathematischen Ökonomie, die seither immer elaboriertere Modelle „rationalen“ Entscheidens entwirft.

Aber trotzdem lockt die Irrationalität „unendlicher“ Gewinne. Zum Beispiel in der Dotcomblase, der Boom-Phase des aufkommenden Internets Ende 1990. Die neuen Technologie-Startups versprachen astronomische Gewinne, die sogenannten Wachstumsaktien wurden auf nie dagewesenem Niveau gehandelt. Die Mathematiker Gabor Székely und Donald Richards wiesen 2004 in einer Studie darauf hin, dass falsche Erwartungen in „unendliche“ Gewinne die ganze Dotcomblase aufpumpten, nicht unähnlich dem einfachen Münzspiel im Bernoulli-Paradoxon. Alan Greenspan, damals Vorsitzender der US-Notenbank, sprach von einem „irrationalen Überschwang“. Als die Blase platzte, belief sich der Verlust auf geschätzte 5 Billionen Dollar.

Die zunehmende Interdependenz der Welt

Wir können das Wetten nicht lassen. Ungewissheit, Spiel, Risiko ziehen uns an mit seltsamer magischer Kraft. Und gleichzeitig sind sie uns nicht ganz geheuer. Wir möchten uns absichern gegen die Launen des Zufalls. Die grosse Entdeckung der Neuzeit war, dass diese Launen Gesetzen unterliegen. Statt also wie die Alten die Göttinnen des Zufalls – Tyche oder Fortuna – anzurufen, beruft man sich auf die Gesetze des Zufalls, um das stochastische Treiben der Welt unter Kontrolle zu bekommen, die Ungewissheit zu bewirtschaften.

Es gelingt uns nie endgültig, vielleicht umso weniger, je mehr wir es versuchen. Die Welt erweist sich als immer interdependenter, dadurch abhängiger von Zufallsschwankungen. Unsere Aktionen und Transaktionen (oder sagen wir eher: die Aktionen und Transaktionen der grossen Spieler) erweisen sich keineswegs als unabhängige Ereignisse wie die exemplarischen Münzwürfe. Rare Ereignisse sind überdies häufiger als landläufig angenommen. Und vor allem können sie Folgen haben, die sich unaufhaltsam global verbreiten, mit epidemischer Tücke. Irgendwo streiken die Arbeiter in einer Autofabrik; verrechnet sich ein Finanzanalyst; geht ein Unternehmen bankrott; verdirbt eine grosse Ernte; sinkt ein Öltanker – und die Folgen sind oft ganz anders als erwartet, wenn sie überhaupt erwartet wurden. Die Strategien der globalen Spieler rechnen häufig nicht mit unvorhersehbaren Koinzidenzen. Sie glauben mit fundamentalistischer Inbrunst, dass die Dinge nach irgendeiner perfekten effizienten Gesetzmässigkeit ablaufen, die „alles richtet“ – und dabei sind sie oft kaum voraussehbarer als ein Münzwurf gemäss dem Gesetz der grossen Zahlen.  

Gebot Nummer eins: Misstraue den Vertrauensschindern

Die Welt ist mehr als das Vorhersehbare. Deshalb beherzigen wir mit Vorteil das Gebot Nummer eins: Misstraue jedem, der behauptet, er hätte die Ungewissheit unter Kontrolle und liefere maximalen Gewinn bei minimalem Risiko. Häufig treten solche Vertrauensschinder eindrücklich in Erscheinung, mit wissenschaftlicher Takelage, grandiosem Palmarès an „Performance“, Nobelpreis-gewürdigten Theorien oder mirakulösen „Hedging“-Strategien. Das alles gilt auf dem Feld der Ungewissheit wenig. Hier entpuppt sich alles mehr oder weniger als Wahrsagerei.

Einer wird gewinnen, lautet das Credo der Zocker. Mag sein, aber wir wissen nicht wer. Vor allem wissen wir nicht, welche Verluste die anderen zu tragen haben. Und die Zahl der Nicht-Gewinner wächst. Das ist sicher.

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Irgendwann kann man versichert respektive sicher sein, dass zu viel Sicherheit einen das Leben kosten wird.

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